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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
7.4.
Para cada sucesión indicar su límite al infinito
e) $a_{n}=\frac{3^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}$
e) $a_{n}=\frac{3^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}$
Respuesta
Ahora queremos resolver este límite:
Reportar problema
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}$
Arrancamos reescribiendo en el denominador $3^{n+1}$ como $3^n \cdot 3$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{ 3^n \cdot 3 +(-1)^{n+1}}$
Ahora sacamos factor común $3^n$ en numerador y denominador ("el que manda")
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3^n(1 + \frac{(-1)^n}{3^n})}{3^n(3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n})} $
Simplificamos:
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{(-1)^n}{3^n}}{3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} $
Fijate que \(\frac{(-1)^n}{3^n}\) y \(\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}\) tienden a $0$ por "cero por acotada", como en el item c). Entonces, cuando tomamos límite nos queda:
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{(-1)^n}{3^n}}{3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} = \frac{1}{3}$